浙江省数学类2009年某市中学教师招考试卷及答案

一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内。本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1.已知f(x)=2007，x>1

0,x=1

2007,x<1，则关于limx→1f(x)的结论，正确的是()。

A. 存在，且等于0B. 存在，且等于-2007

C. 存在，且等于2007D. 不存在

2.在欧氏平面几何中，一个平面正多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形是()。

A. 正六边形B. 正五边形

C. 正方形D. 正三角形

3.下列各式计算正确的是()。

A. x6÷x3=x2B. (x-1)2=x2-1

C. x4+x4=x8D. (x-1)2=x2-2x+1

4.已知limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)3Δx=1，则导数f′(x0)等于()。

A. -1B. 3

C. 23D. 32

5.极限limx→∞sin xx等于()。

A. 0B. 1

C. 2D. ∞

6.在13，24,π6这三个实数中，分数共有()。

A. 0个B. 1个

C. 2个D. 3个

7.计算不定积分∫xdx=()。

A. x22B. x2

C. x22+C(C为常数)D. x2+C(C为常数)

8.在下面给出的三个不等式：(1)2007≥2007;(2)5≤6;(3)4-3≥6-5中，正确的不等式共有()。

A. 0个B. 1个

C. 2个D. 3个

9.假设一次“迎全运”知识竞赛中共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，如果某位选手至少要答对x道题，其得分才会不少于95分，那么x等于()。

A. 14B. 13

C. 12D. 11

10. 如图(图形略)，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若∠DBA的正切值等于15，则AD的长为()。

A. 2B. 2

C. 1D. 22

二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分)

11. 4的算术平方根等于。

12. 计算不定积分∫11+x2dx=。

13. 计算limn→∞n2+1n+1-n+3=。

14. 在平面直角坐标系xOy内，曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为。

三、计算题(本大题只有1个小题，共10分)

解方程x2-3x+5+6x2-3x=0

四、应用题(本大题只有1个小题，共13分)

“五一”假期期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道租车公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元。

(1)若学校只租用42座客车或者只租用60座客车，那么学校各需多少租金?

(2)若学校同时租用这两种客车共8辆(可以坐不满)，而且要比单独只租用一种车辆节省租金。请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。

五、证明题(本大题只有1个小题，共15分)

已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的实数x，导函数f′(x)满足0 　　(1)若对任意的闭区间[a,b]R，总存在x0∈(a,b)，使等式f(b)-f(a)=(b-a)f′(x0)成立。

求证：方程f(x)-x=0不存在异于c1的实数根;

(2)求证：当x>c2时，总有f(x)<2x成立;

(3)对任意的实数x1、x2，若满足|x1-c1|<1,|x2-c1|<1。求证：|f(x1)-f(x2)|<4。

六、教法技能(本大题只有1个小题，共10分)

请你列举初中数学的相关内容，谈谈数学知识、数学技能、数学能力的区别与联系。

教育学、教育心理学部分

七、简答题(每小题5分，共10分)

1.如何评价教师课堂教学质量?

2.教学过程的基本特点有哪些?

【参考答案】

一、单项选择题

1.C[解析]f(x)在x=1处的左极限为limx→1-f(x)=limx→1-2007=2007,在x=1处的右极限为limx→1+f(x)=limx→1+2007=2007。故f(x)在x=1处的极限存在，且limx→1f(x)=2007。故选C。

2.B[解析]多边形的外角和为360°，又因为此多边形为正多边形，所以边数应为360°72°=5,即此多边形为正五边形。故选B。

3.D[解析]x6÷x3=x3,A错误。(x-1)2=x2-2x+1，B错误，D正确。x4+x4=2x4，C错误。

4.D[解析]limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)3Δx=limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx·23=23limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=23f′(x0)=1,所以f′(x0)=32。故选D。

5.A[解析]因为|sin x|≤1，当x→∞时，1x→0，所以limx→∞sin xx=0，故选A。

6.B[解析]分数一定是有理数，24与π6是无理数，故不是分数，只有13是分数，选B。

7.C[解析]∫xdx=12x2+C(C为常数)，故选C。

8.D[解析]2007≥2007，5≤6显然正确。4-3=(4-3)(4+3)4+3=14+3，6-5=(6-5)(6+5)6+5=16+5,显然6+5>4+3，则16+5<14+3，6-5<4-3，故4-3≥6-5也正确。故选D。

9.B[解析]设答对了y道题，其得分才会不少于95分。10y-5(20-y)≥95，10y-100+5y≥95，15y≥195，y≥13，故x=13。选B。

10. B[解析]由已知可得∠ABC=45°，tan∠DBA=15。则tan∠DBC=tan(∠ABC-∠DBA)=tan∠ABC-tan∠DBA1+tan∠ABC·tan∠DBA=1-151+15=23。又BC=AC=6，tan∠DBC=DCBC=DC6=23,所以DC=4，故AD=AC-DC=6-4=2,选B。

二、填空题

11. 2[解析]4=2,即求2的算术平方根，显然为2。

12. arctan x+C(C为常数)[解析]∫11+x2dx=arctan x+C(C为常数)。

13. 2[解析]limn→∞n2+1n+1-n+3=limn→∞n2+1-n2-n+3n+3n+1=limn→∞2n+4n+1=2。

14. y=-3x+2[解析]首先可判断点(1,-1)在曲线上，又因为y′=3x2-6x，所以曲线在点(1，-1)处的斜率为k=3-6=-3。故该切线的方程为y+1=-3(x-1)，即为y=-3x+2。

三、计算题

解：令x2-3x=t，则原方程可变形为t+5+6t=0，t2+5t+6=0，(t+2)(t+3)=0，故t1=-2，t2=-3。当t1=-2时，x2-3x=-2,x2-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0，故x1=1,x2=2。当t2=-3时，x2-3x=-3，x2-3x+3=0，x2-3x+322-94+3=0，x-322=-34，故x3=32+32i,x4=32-32i。

四、应用题

解：(1)385÷42≈9.2,所以单独租用42座客车需10辆，租金为320×10=3200(元)。385÷60≈6.4，所以单独租用60座客车需7辆，租金为460×7=3220(元)。